“数量关系”的内容理解

葫芦”，并没有真正从数量关系式的角度去分析、解决，即便是经过个体独立思考解决的，学生更愿意联系生活实际，借助“经验”解决问题。如果解题始终停留在“凭经验”“靠直觉”，缺乏对真实问题或者现实问题中的数量关系进行抽象表征，学生就不能将所学的知识、方法迁移到新的问题情境中去。

2017年教育部《中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科教学）》将小学数学核心内容归纳为8个方面：数与符号的认识、数的运算、数量关系、图形的认识与测量、图形的运动与位置、数据收集、整理与表达、随机事件与可能性、综合与实践等。可见，“数量关系”作为小学数学的核心内容，是培养学生解决问题能力的重要载体。从教学现状看，学生诸多解题错误的根源关键在于没有从“分析数量关系”的视角去解决实际问题，而解决实际问题的关键是分析数量关系。教学时，教师不仅要注重“数量关系”的抽象概括，还要加强“数量关系”推理应用。

“数量关系”的教学现状

“隐性”数量关系的概括。如果说基本数量关系是数学知识的树干，那么“隐性”数量关系是数学知识的枝叶。日常教学中，教师要以教学内容为载体，引领学生对“隐性”数量关系进行数学化、结构化，让学生的数量关系之树“枝繁叶茂”。苏教版教材从三年级开始每册都设有“解决问题的策略”的单元，旨在通过此专题内容的学习，让学生掌握分析（从条件开始想起）、综合（从问题开始想起）、画图、列举、转化、假设等解决问题的策略。教材结构基本都遵循了“弄清题意（找出已知条件和问题）、拟订计划（分析题目中的数量关系）、实施计划（列式或者列表解答）、回顾反思”的编排特点。尽管策略不同，但解决问题的关键在于分析题目中的数量关系。

“数量关系”的教学设计

从教材编排看。尽管《义务教育数学课程标准（2011版）》没有将“问题解决”作为独立的课程内容，但作为课程内容的重要组成部分，“问题解决”在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”的渗透却无处不在。数量关系直接反映了数量之间的内在基本关系，是落实学

基本数量关系的梳理。数学核心内容是指该领域中具有共同要素的主要内容和关键内容。小学阶段有关“数量关系”的核心内容主要有：加法关系模型和乘法关系模型，加法关系模型主要是部分和整体的关系；乘法关系模型主要有“单价×数量=总价”“速度×时间=路程”等。比和比例，包括比的意义和性质、比例的意义及其应用等；简易方程，包括用字母表示数、简易方程等，这些内容分布在各个学段，教师可依托具体的课程内容，以掌握“数量关系”为教学主线，发展学生的数学抽象等学科关键能力。

经历“举三反一”的归纳过程。小学阶段不需要也不可能以证明的方式进行数量关系的教学，一般采用不完全归纳法。不完全归纳需要为学生提供足够多的“例子”，表征越丰富，越有利于抽象和

生解决问题能力的重要“拐杖”。现行的各版本小学数学教材一般不要求总结、提炼数量关系。义务教育教科书数学（江苏凤凰教育出版社）唯一出现正式的数量关系的教学是在四年级下册，呈现了“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”两个基本数量关系，其他数量关系都是“隐藏”在具体的课程内容中。

从教师教学看。教师明知适度提炼数量关系式对于提升学生的解题正确率以及解题能力都是有益的，但又担心“模式化”容易造成学生解题时生搬硬套，重回传统应用题教学的老路上，导致学生解题“程式化”，即学生面对真实的问题情境时，会用固定的模式去“套用”，形成一种“僵化”的数学思维方式。同时，因为教材没有对“数量关系”的提炼作硬性要求，教师主观上也没有引起重视，何况要求学生提炼数量关系需要时间，在一定程度上会影响教学进度。

从学生角度看。有关“问题解决”内容的学习，一般先有例题“示范引领”，在此基础上让学生进行“模仿练习”，学生会解决相关习题可能只是因为“依样画

推理。学生经历了从特殊到一般的“举三反一”的归纳过程，才能从“会解决一道题”走向“会解决一类题”。

经历“举一反三”的演绎过程。数量关系是学生归纳出的数学结论，是学生完成具体到抽象后建构的数学模型，只有学生能够在新的情境中进行灵活、正确地应用，顺利完成迁移，模型的建构才能得以巩固。在教学数量关系“路程=速度×时间”时，怎样才表明学生理解和掌握了，不仅要根据数量关系“路程=速度×时间”解决基础习题，还要能在没有教师的指导下，面对具体不熟悉但最终可控的环境下运用数量关系解决变式习题。掌握了这类习题,表明学生已经能“举一反三”，将数量关系“路程=速度×时间”变式正确应用到新情境中。

数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于数学抽象、依赖于数学推理。为此，在涉及数量关系的教学时，教师要通过精心设计，让学生充分经历对数量关系的感知、抽象、推理、应用的过程，促进学生解决问题能力的提高和学科素养的提升。